Merhaba,

Please translate this sentence into Turkish: thank you for letting me stay in your country.

I will give it a try too:  ülkenizde bemin kalmama izin vermek için teşekkür ederim.

Teşekkürler.

ülkenizde benim kalmama izin verdiğiniz için teşekkür ederim.

You may drop the word "benim" in this sentence for a better understanding.

Does verdiğiniz mean your allowing it?

To allow : izin vermek 

Teşekkürler.