I may be overlooking it in the site's lessons, but how would you say, "I am XXX years old."??

maybe this might help..
how old are you? => Kaç yaşındasın?

Kaç yaşındasın=How old are you
20 yaşımdayım=İ am 20 years old.
Kaç yaşında=How old is he/she/it
20 yaşında=He/she/it is 20 years old.

There are alternates.

For example

yaş kaç?
yaş 35.

There is a famous poem called "35 yaş".

yaş 35, yolun yarısı eder.
...


Also you can use possession suffixes.

20'sinde bir genç kız. - a young girl of 20 years.

Quote from "Moğollar - Bir şey yapmalı" song.

Henüz 16'sında, yolun ortasında
vuruyorlar oysa bir şey yapmadı

kaçında gösteriyor? - how old does she look like?
kaçımda gösteriyorum? how old do I look like?

a)20 yaşımdayım.
b)20 yaşındayım.

b is the general usage and the correct one.
a is missing a suffix or a dot. In my opinion.

Yirminci yaşımdayım.
20. yaşımdayım. --> I am at twentieth of my age.
should be correct. But not used commonly.

At the first year.. --> Birinci yılda
At the first year of mine.. --> Birinci yılımda

Almanya'ya gittiğimde 20. yaşımdaydım. or just 20 yaşındaydım.
or 20'sindeydim(at 20 ). or 20'imdeydim.(at my 20 ) or yaş(ım) 20'ydi.

When you add plural suffix it becomes,
20'lerimde --> Between 20 and 29 years of age.