1.Mühendis işçiye “Kirişler yeteri kadar sağlam oldu mu” ? diye sordu

Mühendis işçiye kirişlerin yeteri kadar sağlam olup olmadığını sordu

2.Oğlum annesine “Bugünkü sınava katılmak zorundayım” demiş

Oğlum annesine kendisinin bugünkü sınava katılmak zorunda olduğunu söylemiş

Oğlum annesine kendisinin bugünkü sınava katılmak katılması gerektiğini söylemiş

3.Genç baba doktora “Oğlumun durumu ağır mı? “ diye sordu

Genç baba doktora oğlunun durumunun ağır olup olmadığını sordu

4.Benden yardım isteyen anneme “Arkadaşlar bekliyor, çıkmayalım çıkmalıyım” dedim

Benden yardım isteyen anneme arkadaşlarımın  beni beklediğini ve onlarla çıkmak istediğimi söyledim (the sentence is correct as grammar, but if you say -malı, it doesn´t mean your wish, so this line is not the same statement)

Benden yardım isteyen anneme arkadaşlarımın  beni beklediğini ve [onlarla] çıkmak gerekli olduğunu çıkmam gerektiğini söyledim

(there is no word ´onlarla´ in your original sentence, I think it is unnecessary)

5.Doktor “Bu konu doğru değil, ben doğrusunu biliyorum” diye iddia etti

Doktor o konunun doğru olmadığını ve  kendisinin doğruyu [doğrusunu] bildiğini iddia etti

6. Arkadaşım “Büyük marketlerden alış veriş yapıyor musunuz?” diye sordu

Arkadaşım büyük marketlerden alış veriş yapıp  yapmadığımızı  sordu

I hope that someone would check these sentences