The months at the hospital did little to arrest the disease.

(Can aylar be the grammatical subject here?)

hastanede geçen aylar hastalığın kontrol altına alınmasına çok az katkı sağladı

Of course it is subject.

"Hastanede geçen aylar" is the subject, not only "aylar".

Yes but its role is not the most typical one (actor) and I feel uncertain to translate sentences like this constituent by constituent.

katkı sağlamak sounds like a very useful construction, I will keep it in mind.

Thank you, burakk, ikicihan, gokuyum.

if you ask the "who/what" question to verb, the full answer is always the subject in turkish.

there are more questions asked to the verb (for verbal sentences) for other parts of the sentence.

Hastanede geçen aylar hastalığın kontrol altına alınmasına çok az katkı sağladı.

katkı sağladı: yüklem

ne katkı sağladı? : "Hastanede geçen aylar", özne (subject)

neye katkı sağladı?: "hastalığın kontrol altına alınmasına", dolaylı tümleç (-e, -de, -den)

nasıl katkı sağladı?: "çok az", zarf tümleci

for different sentences, "ne zaman", "nerede", "niçin", "ne ile"... questions need to be asked.

...

For more info, Bakınız:

http://cumlenin-ogelerini-bulmak-icin-hangi-sorular-sorulur.nedirogren.com/

http://www.edebiyatforum.com/cumlenin-ogeleri-konu-anlatimi/cumlenin-ogeleri/tum-sayfalar.html

http://yazarlikyazilimi.meb.gov.tr/Materyal/afyon/afyon4/cumlenin_ogeleri/%C3%B6%C4%9Fe%20tablosu.html