Mary Anderson 1903 yılında araba sileceğini icat ettiğinde ise sürücülerin dikkatini dağıtacağı gerekçesiyle 10 yıl boyunca patent alamadı.  

Cochrane, hizmetçilerinin sürekli olarak çin porselenlerinin kırılması ve zarar görmesinden bıktığı için bulaşık makinesini icat etti.

I need an explanation about the parts in red.  thank you

Mary Anderson 1903 yılında araba sileceğini icat ettiğinde ise sürücülerin dikkatini dağıtacağı gerekçesiyle 10 yıl boyunca patent alamadı.  

-

Could it be omitted? or is there an araba sileceğinin not expressed

Cochrane, hizmetçilerinin sürekli olarak çin porselenlerinin kırılması ve zarar görmesinden bıktığı için bulaşık makinesini icat etti. 

- are these associations OK?---

hizmetçilerinin kırılması   and porselenlerinin zarar görmesi

teşekkür ederim ama hala bazı sorum var

Mary Anderson 1903 yılında araba sileceğini icat ettiğinde ise sürücülerin dikkatini dağıtacağı gerekçesiyle 10 yıl boyunca patent alamadı.

No you cannot omit the red ı. It´s part of underlined inner clause.

It is possible for -IN from sürücülerin to require/ govern the -i from dikati and the -i from dağıtacağı ?

Cochrane, hizmetçilerinin sürekli olarak çin porselenlerinin kırılması ve zarar görmesinden bıktığı için bulaşık makinesini icat etti.

It´s not OK.  Do you want to say that the phrase I copied here was not correct?

You can fix it as below: 

Cochrane, çin porselenlerinin hizmetçilerince sürekli olarak  kırılması ve zarar görmesinden bıktığı için bulaşık makinesini icat etti.

The underlined is an inner clause. As a separate sentence it would be:

Çin porselenleri  (Cochrane´in) hizmetçilerince sürekli olarak  kırıldı ve zarar gördü

teşekkür ederim ama hala bazı sorum var

Mary Anderson 1903 yılında ni icat ettiğinde ise sürücülerin dikkatini dağıtacağı gerekçesiyle 10 yıl boyunca patent alamadı.

No you cannot omit the red ı. It´s part of underlined inner clause.

It is possible for -IN from sürücülerin to require/ govern the -i from dikati and the -i from dağıtacağı ? Yes it is possible. But OK you are right. Not in this case. It matches not with that -in but a hidden one:

(araba sileceğinin) sürücülerin dikkatini dağıtacağı

Cochrane, hizmetçilerinin sürekli olarak çin porselenlerinin kırılması ve zarar görmesinden bıktığı için bulaşık makinesini icat etti.

It´s not OK.  Do you want to say that the phrase I copied here was not correct? Right. It´s not a correct sentence because there is an active and passive voice mismatch between clauses so I fixed it. Would also be OK if it was like this:

Cochrane, hizmetçilerinin sürekli olarak çin porselenlerinin kırılması kırması ve zarar vermesinden bıktığı için bulaşık makinesini icat etti.

You can fix it as below: 

Cochrane, çin porselenlerinin hizmetçilerince sürekli olarak  kırılması ve zarar görmesinden bıktığı için bulaşık makinesini icat etti.

The underlined is an inner clause. As a separate sentence it would be:

Çin porselenleri  (Cochrane´in) hizmetçilerince sürekli olarak  kırıldı ve zarar gördü