This issue below is too much detail for beginners. It is an upper intermediate issue.

The Present Continuous Tense suffix is -iyor and -mekte. Both are Present Continuous Tense suffixes. The infinitice -mek can take the locative case suffix -de -da. This should not be confused with the present continuous tense suffix.

We can use -mekte as present continuous tense if:
1. We are making a statement about something. In this case it is used together with the -dir suffix.

Çevre kirliliği kuşların ölümüne sebep olmaktadır.

Türkçe dünyada yaygınlaşmaktadır.

2. We are making a presentation, seminar or a speech.
It is common to use the -mekte in this case as present continuous.
Türkiye ilerlemektedir ancak bu ilerleme yavaş olmaktadır. Peki neden yavaş oluyor? Çünkü önceden yapılan hatalardan ders alınmamaktadır. Aynı hatalar sürekli tekrarlanmaktadır.

3. In story-telling when we want to express present in the past. It implies the phrase "at this moment" even when such a phrase is not pronounced. It is like "was + V-ing". The story teller plays a game with tenses. He wants to take the listeners to the time of action. This unusual form of present tense fits well in this rarely case.

" O sırada Ali caddede yürümektedir. Güneşli bir gündür. Ali'nin canı sıkılmaktadır. Ne yapacağını bilememektedir. İçinde kötü bir his vardır. "

Compare this to embellished style to the regular usage:

" O sırada Ali caddede yürüyordu. Güneşli bir gündü. Ali'nin canı sıkılıyordu. Ne yapacağını bilemiyordu. İçinde kötü bir his vardı. "

The first one sounds more exciting. It is like any time something unexpected is going to happen. The listener was allowed to share the same with the story for only a moment but the story teller violates this and tells the whole story in a mood as if he is adding "at this moment" to each sentence.

"gitmekte" or gitmede as a verbal adverb:
Here the -mek is the infinitive suffix and -me is the short infinitive suffix.

The meaning of -de is "by/in/on/at".
Bunu söylemekte sakınca görmüyorum.
Bunu söylemede sakınca görmüyorum.

I don't see any harm in telling this.

About "ister" and "istiyor" the long story made short is like this:
When offering:
definately use "ister". Also "alır" is possible. "istiyor" is also possible but is too weak.
Offering:
Bir çay daha ister misiniz?
Bir çay daha alır mısınız?

When requesting:
Don't use ister. "İster" is impossible for requesting something.
"istiyorum lütfen" is possible in a shop/restourant/bar/hotel. "alabilir miyim" is also possible in a bar/restourant. Just "lütfen" is the most common one:
- Bir bira lütfen.
- Buyurun efendim.
- Teşekkürler.
After a few minutes:
- Bir bira daha alabilir miyim?
- Tabii efendim. Buyurun.
- Teşekkürler.

"ister misin?" is better when you ask the informal question "would you like?". "ister miydin?" is also possible.
Biraz dondurma ister misin?
Sinemaya gitmek ister misin?

If you want to be more formal "alır mısınız?" or "alır mıydınız?" is better.
Bir çay daha alır mısınız?
Bir çay daha alır mıydınız?

Notice that the singular "Bir çay daha alır mısın?" is too informal and will be alright among friends.

These are correct:
... gitmeyi istiyor mu?
... gitmek istiyor mu?
... dışarı gitmek istiyor mu?
... dışarıya çıkmak istiyor mu?

This is incorrect:
"gitmeye istiyor"

This is correct:
"gitmeye hazırım"
I'm ready to go.

The last -e in gitmeye means "to".