Ne = what

-(s)i = 3rd person singular possessive suffix giving the meaning his/her/its

so "ne-si" is proper Turkish.

We have a saying that use it:

Bir elin nesi var iki elin sesi var. (Notice the rhyming between nesi&sesi)

That said, nowadays more and more native speakers prefer "neyi" over "nesi". Why is that?

We use "şey" (thing) for a wildcard for the words/names we don´t remember when we talk.

Onun şeyi var = he has ... errm ...

neyi var? (instead of "nesi var?") = what has he got?

This has getting more and more widespreadly used over nesi that the question word "ne" (what) is also heard as "ney" sometimes.

şey var = there is something

ney var? = what is it there?

I suggest new learners always prefer nesi over neyi because nesi is the correct one.

Edit:

Of course the same goes for the other grammatical persons:

ne-m (vs. ney-im)

ne-n (vs. ney-in)

ne-miz (vs. ney-imiz)

ne-niz (vs. ney-iniz)

ne-leri (there is no ney-leri for now but in the future there may be it as well)

Here is a famous poem of a famous poet where you can find one example of correct usage:

Karadutum, çatal karam, çingenem
Nar tanem, nur tanem, bir tanem
Ağaç isem dalımsın salkım saçak
Petek isem balımsın ağulum
Günahımsın, vebalimsin.
 
Dili mercan, dizi mercan, dişi mercan
Yoluna bir can koyduğum
Gökte ararken yerde bulduğum
Karadutum, çatal karam, çingenem
Daha nem olacaktın bir tanem
Gülen ayvam, ağlayan narımsın
Kadınım, kısrağım, karımsın.
 
Sigara paketlerine resmini çizdiğim
Körpe fidanlara adını yazdığım
Karam, karam
Kaşı karam, gözü karam, bahtı karam
Sıla kokar, arzu tüter
Ilgıt ılgıt buram buram.
Ben beyzade, kişizade,
Her türlü dertten topyekün azade
Hani şu ekmeği elden suyu gölden.
Durup dururken yorulan
Kibrit çöpü gibi kırılan
Yalnız sanat çıkmazlarında başını kaşıyan
Artık otlar göstermelik atlar gibi bedava yaşayan
Sen benim mihnet içinde yanmış kavrulmuşum
 
Netmiş, neylemiş, nolmuşum
Cömert ırmaklar gibi gürül gürül
Bahtın karışmış bahtıma çok şükür.
Yunmuş, yıkanmış adam olmuşum
 
Karam, karam
Kaşı karam, gözü karam, bahtı karam
Sensiz bana canım dünya haram olsun.
 
BEDRİ RAHMİ EYÜBOĞLU

Yes, possessive suffixes for 3rd person singular are:

-ı, -i, -u, -ü, -sı, -si, -su, -sü

s in 3rd person singular possessive suffix is not a buffer letter. Those who claim s is a buffer letter should know that there is nowhere else in Turkish grammar where s used as a buffer letter.

So nesi is the correct form.

Exactly! I do agree that the s in -si is not a buffer letter. I used -(s)i notation to mean that after a vowel it should be -si.

Maybe it would better if shown as -i/-si instead of -(s)i.

Oh man!

Here´s what Google translate come up with:

"daha nem olacaktın bir tanem?" - "You would be more moisture in a sweetheart?"

Hehe...I will confess that the first time I heard the türkü with the line, "iki damla yaştan gayri nem kaldı, nem kaldı," I couldn´t figure out why Mahzuni Şerif was singing about dampness.

Well, I just saw it (I mean ne written as ney) in written language today as well.

The following has been quoted from: here

İnterpromedya tarafından Türkiye’nin kentsel alanında yaşayan, ekonomik olarak aktif ve çalışan nüfus üzerinde uygulanan “Tüketici Trend” araştırması 16 ilde 15 yaş üstü bin 338 kişiyle yapılan anket sonucu gerçekleştirildi.

Katılımcıların yüzde 52.6’sı daha az harcama yaptığını belirtirken, yüzde 36.6’sı harcama alışkanlarının değişmediğini, yüzde 10.8’i de daha fazla harcadığını kaydetti. Azaltılan harcamalarda başı, teknoloji ürünleri ve giyim çekti. Teknoloji ürünleri ve giyimi, sırasıyla tatil, sosyal aktivite, kozmetik, ev eşyası ve yeme-içme takip etti. Tüketicilerin yüzde 54.6’sı tasarruf yapmadığını belirtirken, tasarruf araçları arasında en çok tercih edilen altın oldu.