Kadının biri - A woman [Literally , one of a woman]
Bir gün, kadının biri dükkana gelmiş. --> One day, a woman came to the shop.
Amerikalının biri - An american person [Literally = One of an American ]
1. Amerikalının biri = 2. Bir Amerikalı
It´s just the way of saying it. The first one is more like a story telling way whereas the second one is a making a statement way.
Bir gün, Amerikalının biri barda içiyormuş..... > An amerikan was drinking in a bar.....
Bir Amerikalı günde 10 bardak su içer ---> An amerikan person drink 10 glasses of water a day.
============================
So, going back to your question,
Bir gün - One day
Günün birinde - Literally In one of day which actually means ONE DAY, SOME DAY, ONE DAY IN THE PAST.
The only difference in meaning I can think of is :
Günün birinde can be used for story telling [Once upon a time]
Günün birinde uzak diyarlarda bir kral yaşarmış. ---> Once upon a time, there was a king living in a far country.
